I.

Der Antrag der Antragsgegnerin, ihr einen Rechtsanwalt zur Vertretung beizuordnen, ist nicht begründet. Die Antragsgegnerin hat dem Gericht gegenüber keinen Anwalt gewählt (§ 121 Abs. 2 ZPO) und nichts dazu vorgetragen, dass sie keinen zu ihrer Vertretung bereiten Anwalt gefunden hat (§ 121 Abs. 5 ZPO).

II.

Die Rechtsmittel haben in der Sache keinen Erfolg.

1. Das Landgericht hat in dem angefochtenen Beschluss zutreffend ausgeführt, dass die Antragsgegnerin unter Berücksichtigung des bisherigen Sach- und Streitstandes nach billigem Ermessen die Kosten des Verfahrens auf Erlass der einstweiligen Verfügung zu tragen hat (§ 91 a Abs. 1 Satz 1 ZPO). Es hat das tatsächliche Vorbringen der Parteien, bis diese das Verfahren in der Hauptsache für erledigt erklärt haben, richtig gewürdigt, ohne dass die Antragsgegnerin diese Würdigung in zulässiger Weise angreift. Das Beschwerdegericht darf ihr neues tatsächliches Vorbringen, namentlich, die Antragstellerin habe ihr den Gebrauch des Pkw T.####### bereits Ende November 2007 überlassen und habe ihrem - der Antragsgegnerin - Lebensgefährten A.####### die Fahrzeugschlüssel belassen in der Kenntnis, dass dieser keine Fahrerlaubnis habe, nicht berücksichtigen, auch wenn das Gesetz (§ 571 Abs. 2 Satz 1 ZPO) neue Verteidigungsmittel im Beschwerdeverfahren grundsätzlich zulässt. Davon macht § 91 a Abs. 1 Satz 1 ZPO eine Ausnahme. An seiner Vorgabe, dass über die Kosten des Verfahrens aufgrund der Tatsachenlage bis zur Erklärung der Erledigung des Streites in der Hauptsache zu entscheiden ist, kann auch die sofortige Beschwerde gegen die Kostenentscheidung nichts ändern. Andernfalls würde über die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens möglicherweise gerade nicht aufgrund der Tatsachenlage bis zu den Erledigungserklärungen entschieden.

2. Die Rechtsverteidigung, welche die Antragsgegnerin beabsichtigte, bot, als sie Prozesskostenhilfe beantragte, keine hinreichende Aussicht auf Erfolg (§ 114 Satz 1 ZPO). Da die Parteien zu diesem Zeitpunkt das Verfahren bereits in der Hauptsache für erledigt erklärt hatten, konnte sie sich nur noch gegen die Kostenpflicht aus § 91 a Abs. 1 Satz 1 ZPO richten, für welche, wie unter Nummer 1 ausgeführt, allein das tatsächliche Vorbringen vor den Erledigungserklärungen maßgeblich war, welches das Landgericht zutreffend gewürdigt hat (vgl. auch: Baumbach, ZPO, 67. Aufl., § 119 Rn. 24).

Die Entscheidung über die Kosten des Kostenbeschwerdeverfahrens beruht auf § 97 Abs. 1 ZPO.